根据相关法律规定，当一家公司的高管承担了刑事责任后，是否有权向公司主张民事责任是一个复杂的问题，需要综合考虑刑事法律和民事法律的规定。刑事判决和公司劳动关系解除之间的关系涉及到刑事责任的性质、公司治理结构、劳动合同的解除条件等多个方面。
根据我国《刑法》的相关规定，个人的刑事责任是独立于公司的存在的，高管的刑事责任并不直接涉及公司的民事责任。因此，公司并非直接因高管的刑事责任承担民事责任的法律义务。
在公司治理结构方面，一般情况下，公司与其高管之间的关系是由劳动合同或者公司章程来规范的。如果公司的公司章程或者劳动合同中包含了高管承担刑事责任会导致解除劳动合同的条款，那么公司解除劳动合同可能会成为一种合法的行为。在这种情况下，公司可以合法解除与高管的劳动关系，但并不是因为高管承担了刑事责任。
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，公司解除与高管的劳动关系需要符合法定程序和条件，不能违反劳动合同法的规定。公司应当遵循诚实信用原则，依法解除劳动合同。因此，公司解除与高管的劳动关系需要依法进行，而不是简单地因为高管承担了刑事责任就解除劳动关系。
在刑事判决公司高管承担民事责任后，公司是否可以向公司主张责任，需要具体分析具体情况。公司不能仅仅因为高管承担了刑事责任就解除劳动合同，必须依法依规进行解除。公司与高管之间的民事责任问题需要根据具体情况进行考量，并在法律的框架下进行合理处理。